Câu 45 Mã đề 107 Thi THPT Quốc gia 2017
Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\). Gọi 𝑀,𝑁 lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,BC\) và \(E\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(D\). Mặt phẳng \(\left(MNE\right)\) chia khối tứ diện \(ABCD\) thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh \(A\) có thể tích \(V\). Tính\(V.\)
\(\dfrac{7\sqrt{2}a^3}{216}\) \(\dfrac{11\sqrt{2}a^3}{216}\) \(\dfrac{13\sqrt{2}a^3}{216}\) \(\dfrac{\sqrt{2}a^3}{216}\) Hướng dẫn giải:
Gọi P là giao điểm của EM với AD, Q là giao điểm của EN và CD, \(V_0\) là thể tích khối tứ diện ABCD, \(V'\) là thể tích khối đa diện không chứa A (đa diện DPQ.BMN). Như vậy thể tích cần tìm là \(V=V_0-V'.\)
Do P là trọng tâm tam giác ABE nên \(\dfrac{V_{E.DPQ}}{V_{E.BMN}}=\dfrac{ED}{EB}.\dfrac{EP}{EM}.\dfrac{EQ}{EN}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{9}.\) Do đó
\(V'=V_{E.BMN}-V_{E.PDQ}=\dfrac{7}{9}V.EBMN=\dfrac{7}{9}.\dfrac{1}{2}.V_{D.ABC}=\dfrac{7}{18}V_0\) và \(V=V_0-V'=\dfrac{11}{18}V_0.\)
Vì \(ABCD\) là tứ diện đều cạnh \(a\) nên \(V_0=\dfrac{\sqrt{2}a^3}{12}\) và \(V=\dfrac{11\sqrt{2}a^3}{216}.\)
Chú ý: Trong lời giả trên, ta chỉ sử dụng giả thiết ABCD là tứ diện đều cạnh \(a\) để tính thể tích \(V_0\) của tứ diện đó.