Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của elip (E) có độ dài trục lớn bằng 26 và tỉ số \(\dfrac{c}{a}=\dfrac{5}{13}\) ?
\(\dfrac{x^2}{13^2}+\dfrac{y^2}{7^2}=1\) \(\dfrac{x^2}{13^2}+\dfrac{y^2}{12^2}=1\) \(\dfrac{x^2}{13^2}+\dfrac{y^2}{9^2}=1\) \(\dfrac{x^2}{\left(\sqrt{13}\right)^2}+\dfrac{y^2}{\left(\sqrt{12}\right)^2}=1\) Hướng dẫn giải:(E) có phương trình tổng quát \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\). Từ giả thiết suy ra \(\left\{{}\begin{matrix}2a=26\\\dfrac{c}{a}=\dfrac{5}{13}\end{matrix}\right.\) trong đó \(c^2=a^2-b^2\). Từ đó \(\left\{{}\begin{matrix}a=13\\c=\dfrac{5}{13}a=5\\b^2=a^2-c^2=13^2-5=12^2\end{matrix}\right.\).
Phương trình chính tắc của (E) là \(\dfrac{x^2}{13^2}+\dfrac{y^2}{12^2}=1\).
Chú ý: Tỉ số \(e=\dfrac{c}{a}\) (cũng là tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn) còn được gọi là tâm sai của elip. Ta thấy \(\dfrac{b^2}{a^2}=\dfrac{a^2-c^2}{a^2}=1-e^2\Rightarrow\dfrac{b}{a}=\sqrt{1-e^2}\) \(\left(0< e< 1\right)\). Nếu e càng gần 0 thì \(\dfrac{b}{a}\) càng gần 1, tức là \(b\approx a\), hình chữ nhật cơ sở xấp xỉ một hình vuông và elip gần như là một đường tròn.