Viết phương trình đường thẳng qua A(-2;0) tạo với đường thẳng \(\left(\Delta\right):x+3y-3=0\) một góc \(45^0\)
\(\left(d_1\right);2x+3y+4=0;\left(d_2\right):3x-2y+2=0\) \(\left(d_1\right);2x-y+4=0;\left(d_2\right):x-2y+2=0\) \(\left(d_1\right);2x+y+4=0;\left(d_2\right):x-2y+2=0\) \(\left(d_1\right);2x-y+4=0;\left(d_2\right):x+2y+2=0\) Hướng dẫn giải:Đường thẳng (d) qua A(-2;0) có phương trình dạng \(a\left(x+2\right)+b\left(y-0\right)=0\Leftrightarrow ax+by+2a=0\) (1) (với điều kiện \(a^2+b^2>0\))
Gọi \(\varphi\)là góc giữa hai đường thẳng (d) và \(\left(\Delta\right)\) thì
\(\cos\varphi=\dfrac{\left|a.1+b.3\right|}{\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{1^2+3^2}}=\dfrac{\left|a+3b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{10}}\).
Hai đường thẳng tạo với nhau một góc \(45^0\) khi và chỉ khi \(\varphi=45^0\Leftrightarrow\cos\varphi=\cos45^0=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\), do đó
\(\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\left|a+3b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{10}}\Leftrightarrow\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{10}=\left|a+3b\right|\sqrt{2}\) \(\Leftrightarrow5\left(a^2+b^2\right)=\left(a+3b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow4a^2-6ba-4b^2=0\)
Xem phương trình trên là phương trình ẩn a, tham số b ta có \(\Delta'=9b^2+16b^2=25b^2\). Phương trình có hai nghiệm \(a=\dfrac{3b+5b}{4}=2b;a=\dfrac{3b-5b}{4}=-\dfrac{b}{2}\).
Vậy có 2 đường thẳng tạo với đường thẳng \(\left(\Delta\right)\) một góc \(45^0\), cụ thể là:
Vơi \(a=2b\) thế vào (1) ta được \(\left(d_1\right):2bx+by+2\left(2b\right)=0\Leftrightarrow2x+y+4=0\)
Với \(a=-\dfrac{b}{2}\) thế vào (1) ta được \(\left(d_2\right):\dfrac{-b}{2}x+by+2.\left(-\dfrac{b}{2}\right)=0\Leftrightarrow x-2y+2=0\).
Đáp số: \(\left(d_1\right);2x+y+4=0;\left(d_2\right):x-2y+2=0\)