Cho hai đường thẳng \(\left(d\right):\left\{{}\begin{matrix}x=2+at\\y=1-2t\end{matrix}\right.\) và \(\left(d'\right):\left\{{}\begin{matrix}x=-1+4t'\\y=2-3t'\end{matrix}\right.\). Tìm tất cả các giá trị của a để hai đường thẳng này tạo thành một góc \(45^0\)
\(a=-1;a=14\) \(a=\dfrac{2}{7}\) \(a=\dfrac{2}{7};a=-14\) \(a=-14\) Hướng dẫn giải:(d) và (d') có vec to chỉ phương \(\overrightarrow{v}\left(a;-2\right)\) và \(\overrightarrow{v'}\left(4;-3\right)\). Gọi \(\varphi\)là góc giữa hai đường thẳng đã cho, tức là góc giữa hai vecto \(\overrightarrow{v}\left(a;-2\right)\) và \(\overrightarrow{v'}\left(4;-3\right)\) thì
\(\cos\varphi=\dfrac{\left|a.4+\left(-2\right).\left(-3\right)\right|}{\sqrt{a^2+\left(-2\right)^2}\sqrt{4^2+\left(-3\right)^2}}=\dfrac{\left|4a+6\right|}{5\sqrt{a^2+4}}\).
Hai đường thẳng tạo với nhau một góc \(45^0\) khi và chỉ khi \(\varphi=45^0\Leftrightarrow\cos\varphi=\cos45^0=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\), do đó
\(\dfrac{\left|4a+6\right|}{5\sqrt{a^2+4}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow2\left(4a+6\right)^2=25\left(a^2+4\right)\Leftrightarrow7a^2+96a-28=0\)
Phương trình tren có 2 nghiệm \(a=\dfrac{2}{7};a=-14\). Đáp số: \(a=\dfrac{2}{7};a=-14\)