Nhị thức nào sau đây nhận giá trị âm với mọi \(x< 2\)?
\(f\left(x\right)=3x+6\).\(f\left(x\right)=-2x+4\).\(f\left(x\right)=3x-6\).\(f\left(x\right)=-3x+6\).Hướng dẫn giải:Kí hiệu N là tập hợp tất cả các số thực \(x\) sao cho nhị thức \(f\left(x\right)=ax+b\) nhận giá trị âm. Yêu cầu đề bài có nghĩa là \(\left(-\infty;2\right)\subseteq\)N.
Theo định lí về dấu của nhị thức bậc nhất ta có:
- Nếu \(a< 0\) thì N\(=\left(-\dfrac{b}{a};+\infty\right)\). Tập N không thể chứa khoảng \(\left(-\infty;2\right)\). Loại.
- Nếu \(a>0\) thì N\(=\left(-\infty;-\dfrac{b}{a}\right)\), Yêu cầu bài toán được thực hiện khi và chỉ khi \(\left(-\infty;2\right)\subseteq\left(-\infty;-\dfrac{b}{a}\right)\Leftrightarrow2\in\left(-\infty;-\dfrac{b}{a}\right)\)\(\Leftrightarrow2\le-\dfrac{b}{a}\).
Vậy chỉ cần xét hai trường hợp:
a) \(f\left(x\right)=3x+6\): Ta thấy \(2\le-\dfrac{b}{a}=-2\) sai. Loại.
b) \(f\left(x\right)=3x-6\), có \(2\le-\dfrac{b}{a}=2\), đúng.
Đáp số: \(f\left(x\right)=3x-6\)