Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có \(AB=2\sqrt{3}\) và \(AA'=2.\) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh A'B'; A'C' và BC (tham khảo hình vẽ bên). Cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (AB'C') và (MNP) bằng
\(\dfrac{6\sqrt{13}}{65}\) \(\dfrac{\sqrt{13}}{65}\) \(\dfrac{17\sqrt{13}}{65}\) \(\dfrac{18\sqrt{13}}{65}\) Hướng dẫn giải:
Do giả thiết tam giác đều ABC có cạnh bằng \(2\sqrt{3}\) nên có đường cao tam giác ABC là\(AP=AB.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=3\).
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ( P là gốc tọa độ): cụ thể \(C\left(\sqrt{3};0;0\right)\)thì \(B\left(-\sqrt{3};0;0\right),A\left(0;3;0\right)\). Lại theo giả thiết \(AA'=2\) suy ra \(C'\left(\sqrt{3};0;2\right),B'\left(-\sqrt{3};0;2\right),A'\left(0;3;2\right)\). Các trung điểm M, N của A'B' và A'C' có tọa độ: \(M\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2};\dfrac{3}{2};2\right),N\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2};\dfrac{3}{2};2\right)\).
Ta đã biết cosin cuả góc giữa hai mặt phẳng bằng \(\dfrac{\left|n_1.n_2\right|}{\left|n_1\right|\left|n_2\right|}\) trong đó \(\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\) là các vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng (AB'C') và (MNP). Vì \(\overrightarrow{B'C'}\) cùng phương với vec to đơn vị \(\overrightarrow{u}\left(1;0;0\right)\) của trục Ox nên \(\overrightarrow{n_1}=\left[\overrightarrow{u};\overrightarrow{AB'}\right]\) trong đó \(\overrightarrow{AB'}=\left(-\sqrt{3};-3;2\right)\). Tương tự \(\overrightarrow{MN}\) cùng phương với \(\overrightarrow{u}\left(1;0;0\right)\) nên \(\overrightarrow{n_1}=\left[\overrightarrow{u};\overrightarrow{PM}\right]\), trong đó \(\overrightarrow{PM}=\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2};\dfrac{3}{2};2\right)\). Tính toán: Sử dụng MODE VECTOR:
+ Nhập VCTA = \(\left(1;0;0\right)\), VCTB =\(\left(-\sqrt{3};-3;2\right)\): w8111=0=0=q5121ps3=p3=2=
+ Tính VCTA x VCTB và lưu kết quả vào biến C: Cq53Oq54=qJc
+ Nhập VCTA = (1;0;0), VCTB = \(\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2};\dfrac{3}{2};2\right)\): w8111=0=0=Cq5121ps3)P2=3P2=2=
+ Tính VCTA x VCTB (veclo \(\overrightarrow{n_2}\)) - kết quả trong bộ nhớ là VCTAns:
Cq53Oq54=
+ Tính tỉ số \(\dfrac{\left|\text{VCT}C.\text{VCT}Ans\right|}{\left|\text{VCT}C\right|\left|\text{VCT}Ans\right|}\) : Cqcq55q57q56)Pqcq55)Pqcq56)=
+ Trong MODE COMP, để hiện kết quả dưới dạng \(\dfrac{\sqrt{m}}{n}\) ta tính \(\sqrt{Ans^2}\) : w1sMd=
Kết quả là \(\dfrac{\sqrt{13}}{65}\).