Cho hàm số \(y=\dfrac{-x+2}{x-1}\) có đồ thị (C) và điểm $A(a;1)$. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của a để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua A. Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng
\(1\). \(\dfrac{3}{2}\). \(\dfrac{5}{2}\). \(\dfrac{1}{2}\). Hướng dẫn giải:Gọi tiếp điểm của (C) là \(M\left(m;\dfrac{-m+2}{m-1}\right)\) \(\left(m\ne0\right)\)
\(y'\left(m\right)=-\dfrac{1}{\left(m-1\right)^2}\)
Vậy phương trình tiếp tuyến đi qua M là \(y=-\dfrac{1}{\left(m-1\right)^2}\left(x-m\right)+\dfrac{-m+2}{m-1}\) (d)
Do (d) đi qua A nên \(1=-\dfrac{1}{\left(m-1\right)^2}\left(a-m\right)+\dfrac{-m+2}{m-1}\) (*)
Ta cần tìm a để phương trình (*) có 1 nghiệm duy nhất hoặc có hai nghiệm mà một nghiệm bằng 1.
(*) \(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2=m-a-m^2+3m-2\)
\(\Leftrightarrow m^2-2m+1+m^2-4m+a+2=0\)
\(\Leftrightarrow2m^2-6m+a+3=0\)
\(\Delta'=3^2-2\left(a+3\right)=3-2a\)
TH1: Để phương trình có nghiệm duy nhất thì \(\Delta'=0\Leftrightarrow a=\dfrac{3}{2}\)
TH2: Phương trình có hai nghiệm và m = 1 hay \(\left\{{}\begin{matrix}a< \dfrac{3}{2}\\a=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=1\)
\(\Rightarrow S=\left\{1;\dfrac{3}{2}\right\}\)
Vậy tổng giá trị các phần tử của S là: \(1+\dfrac{3}{2}=\dfrac{5}{2}\) .