Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của SD (tham khảo hình vẽ bên). Tang của góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng (ABCD) bằng bao nhiêu?
\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) \(\dfrac{2}{3}\) \(\dfrac{1}{3}\) Hướng dẫn giải:Cách 1 (tự luận):
Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Do S.ABCD là chóp tứ giác đều nên \(SO\perp\left(ABCD\right)\)
Trong (SBD), kẻ MN // SO. Khi đó ta có \(MN\perp\left(ABCD\right)\)
Vậy nên \(\widehat{\left(BM;\left(ABCD\right)\right)}=\widehat{MBN}\)
Ta thấy rằng MN là đường trung bình tam giác SOD nên MN = SO/2 và ON = ND
Ta có \(BC=a\sqrt{2}\Rightarrow BO=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow SO=\sqrt{a^2-\dfrac{a^2}{2}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)
Ta có \(MN=\dfrac{a\sqrt{2}}{4};BN=\dfrac{3}{4}BD=\dfrac{3a\sqrt{2}}{4}\)
Vậy thì \(\tan\widehat{MBN}=\dfrac{MN}{BN}=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}:\dfrac{3a\sqrt{2}}{4}=\dfrac{1}{3}\)
Cách 2 (casio):
Chọn hệ tọa độ như hình vẽ: Tâm đáy là gốc tọa độ, C(2;0;0), A(-2;0;0), B(0;-2;0), D(0;2;0), S(0;0;2) (chú ý rằng tất cả các cạnh của hình chóp bằng nhau theo giả thiết nên \(\Delta\)SBD = \(\Delta\)CBD, suy ra OS = OC = 2). Trung điểm M của SD có tọa độ (0;1;1).
Mặt phẳng (ABCD) vuông góc với OZ nên có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}\left(0;0;1\right)\), đường thẳng BM có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{BM}=\left(0;3;1\right)\) . Áp dụng công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ta có
\(\sin\left(BM,\left(ABCD\right)\right)=\cos\left(\overrightarrow{BM},\overrightarrow{n}\right)=\dfrac{\left|\overrightarrow{BM}.\overrightarrow{n}\right|}{\left|\overrightarrow{BM}\right|\left|\overrightarrow{n}\right|}\)
.
Sử dụng máy tính casio tính toán như sau:
- Nhập VCTA = (0;0;1), VCTB = (0;3;1): w8110=0=1=Cq51210=3=1=
- Tính Abs(VCTA.VCTB):Abs(VCTA):Abs(VCTB): Cqcq53q57q54)Pqcq53)Pqcq54)=
- Lưu kết quả vào biến nhớ A, trở lại MODE COMP tính \(\sin^{-1}A\) rồi tính \(\tan\left(\text{An}s\right)\): qJzCw1qjQz=lM=
Kết quả là \(\dfrac{1}{3}\).