Có bao nhiêu số hạng là số hữu tỉ trong khai triển \(\left(\sqrt[3]{3}+\sqrt[4]{4}\right)^{100}\) ?
9 10 11 12 Hướng dẫn giải:\(\left(\sqrt[3]{3}+\sqrt[4]{4}\right)^{100}\) \(=\sum_{k=1}^{100}C^k_{100}.\left(\sqrt[3]{3}\right)^k.\left(\sqrt[4]{4}\right)^{100-k}\) \(=\sum\limits^{100}_{k=1}C^k_{100}3^{\dfrac{k}{3}}.4^{\dfrac{100-k}{4}}\) Để \(C^k_{100}3^{\dfrac{k}{3}}.4^{\dfrac{100-k}{4}}\) là một số hữa tỉ thì \(\dfrac{k}{3},\dfrac{100-k}{4}\) phải thuộc tập số tự nhiên. Suy ra \(\left\{{}\begin{matrix}k⋮3\\k⋮4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow k=BC\left(3,4\right)=B\left(12\right)\) và \(0\le k\le100\). nên \(k\in\left\{0;12;24;36;48;60;72;84;96\right\}\). Vậy có 9 số hạng là số hữu tỉ.
