Giá trị lớn nhất của hàm số \(\sin^3x.\cos x+\cos^3x.\sin x+5\left(\sin x+\cos x\right)+1\) là:
\(\dfrac{5}{2}+\sqrt{2}\) \(2+\sqrt{2}\) \(2\sqrt{2}+2\) \(\dfrac{3}{2}+5\sqrt{2}\) Hướng dẫn giải:\(\sin^3x.\cos x+\cos^3x.\sin x+5\left(\sin x+\cos x\right)+1\)
\(=\sin x.\cos x\left(\sin^2x+\cos^2x\right)+5\left(\sin x+\cos x\right)+1\)
\(=\sin x.\cos x+5\left(\sin x+\cos x\right)+1\).
Đặt \(\sin x+\cos x=t,\left|t\right|\le\sqrt{2}\) .
Suy ra \(\sin x=\dfrac{t^2-1}{2}\), ta có:
\(\dfrac{t^2-1}{2}+5t+1=\dfrac{t^2+10t+1}{2}\).
Do \(\left|t\right|\le\sqrt{2}\) nên GTLN của \(\dfrac{t^2+10t+1}{2}\) là: \(\dfrac{\left(\sqrt{2}\right)^2+10\sqrt{2}+1}{2}=\dfrac{3}{2}+5\sqrt{2}\).