Cho hình chóp S.ABC có \(SA\perp\)mp\(\left(ABC\right)\), tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) và \(BC=2\). Độ dài cạnh \(SA\) bằng bao nhiêu để góc giữa mp\(\left(SBC\right)\) và mp\(\left(ABC\right)\) bằng \(60^o\) ?
\(\sqrt{3}\).\(3\).\(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\).\(\dfrac{\sqrt{6}}{2}\).Hướng dẫn giải:
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) , suy ra \(AM\perp BC\).
Có \(SA\perp\)mp\(\left(ABC\right)\) nên \(SA\perp BC\). Suy ra \(BC\perp\)mp\(\left(SAM\right)\).
Do \(SA\perp\)\(\left(ABC\right)\) nên mp\(\left(SAM\right)\perp\) \(\left(ABC\right)\) và do \(BC\perp\)mp \(\left(SAM\right)\)nên mp \(\left(SAM\right)\perp\)mp\(\left(SBC\right)\)
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng \(\left(ABC\right)\) và \(\left(SBC\right)\) bằng \(\widehat{AMS}\). Góc này sẽ bằng \(60^0\) khi và chỉ khi
\(\dfrac{SA}{AM}=\tan60^0\Leftrightarrow SA=AM\sqrt{3}=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}.\sqrt{3}=\dfrac{3AB}{2}=\dfrac{6}{2}=3\)