Cho tứ diện ABCD có \(AB=AC=AD\) và \(\widehat{BAC}=\widehat{BAD}=60^o,\widehat{CAD}=90^o\). Xác định góc giữa AB, CD.
\(60^o\).\(45^o\).\(120^o\).\(90^o\).Hướng dẫn giải:
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AC, BC, AD.
Theo tính chất của đường trung bình của tam giác ta có MN // AB và MP // DC.
Tam giác ABC, tam giác ACD đều nên ta đặt \(AB=AC=AD=BC=DC=a\) .
Theo tính chất đường trung bình của tam giác:
\(MN=\dfrac{1}{2}AB\) \(=\) \(MP=\dfrac{1}{2}DC\)\(=\dfrac{1}{2}a\).
\(AN=\sqrt{AB^2-BN^2}=\sqrt{a^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\).
\(ND=\sqrt{a^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{5}a}{2}\).
NP là đường trung tuyến của NAD nên \(NP=\sqrt{\dfrac{2\left(NA^2+ND^2\right)-AD^2}{4}}=\sqrt{\dfrac{2\left[\left(\dfrac{\sqrt{3}a}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{5}a}{2}\right)^2\right]-a^2}{4}}\)\(=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\).
\(cos\widehat{NMP}\) \(=\dfrac{MN^2+MP^2-NP^2}{2MN.MP}=\dfrac{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2-\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}{2.\dfrac{a}{2}.\dfrac{a}{2}}=-\dfrac{1}{2}\).
Suy ra \(\widehat{NMP}=120^o\).
vậy góc giữa AB và CD bằng \(60^o\).