Hình chóp tam giác đều có đáy là a(cm) và chiều cao là h(cm). Diện tích xung quanh của hình chóp đó được tính theo công thức nào trong số các công thức dưới đây?
\(\frac{3a}{2}\sqrt{h^2+\frac{a^2}{12}}\).\(\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2+\dfrac{3\sqrt{3}a}{4}\sqrt{h^2+\dfrac{a^2}{12}}\).\(\dfrac{3\sqrt{3}a}{8}\sqrt{h^2+\dfrac{a^2}{4}}\).\(\dfrac{3\sqrt{3}a}{2}\sqrt{h^2+\dfrac{a^2}{3}}\).Hướng dẫn giải:
Gọi AH là chiều cao của hình chóp. Suy ra H là trọng tâm.
Gọi K là trung điểm của AB, I là trung điểm của BC, ta có hình vẽ trên.
\(AI=\sqrt{AC^2-CI^2}=\sqrt{a^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\).
Suy ra: \(AH=\dfrac{2}{3}AI=\dfrac{2}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}a=\dfrac{\sqrt{3}a}{3}\).
Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác SAH ta có:
\(SA=\sqrt{AH^2+SH^2}=\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}a\right)^2+\left(h\right)^2}=\sqrt{\dfrac{a^2}{3}+h^2}\)
Độ dài trung đoạn (SK) là:
\(SK=\sqrt{SA^2-AK^2}=\sqrt{\dfrac{a^2}{3}+h^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}=\sqrt{h^2+\dfrac{a^2}{12}}\)
Diện tích xung quanh hình chóp là:
\(\frac{1}{2}\left(a+a+a\right).\sqrt{h^2+\frac{a^2}{12}}=\frac{3a}{2}\sqrt{h^2+\frac{a^2}{12}}\)