Cho tam giác \(ABC\) có hai đường trung tuyến \(AM\) và \(BN\). Biết \(AM\perp BN\). Diện tích tam giác \(ABC\) tính theo độ dài \(AM \) và \(BN\) là
\(\dfrac{2}{3}AM.BN\).\(\dfrac{1}{2}AM.BN\).\(\dfrac{2}{9}AM.BN\).\(\dfrac{1}{9}AM.BN\).Hướng dẫn giải:Cách 1:
Có \(OB=\dfrac{2}{3}BN,OA=\dfrac{2}{3}AM\).
\(S_{\Delta OAB}=\dfrac{1}{2}OA.OB=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}BN.\dfrac{2}{3}AM=\dfrac{2}{9}.BN.AM\).
Ta chứng minh được:
\(S_{\Delta OAB}=\dfrac{1}{3}S_{\Delta ABC}\Leftrightarrow S_{\Delta ABC}=3S_{\Delta OAB}=\dfrac{3.2}{9}.BN.AM=\dfrac{2}{3}BN.AM\).
Cách 2: Ta chứng mình được \(S_{\Delta CMN}=\frac{1}{4}S_{\Delta ABC}\). Vậy \(S_{ABMN}=\frac{3}{4}S_{\Delta ABC}\). Mà \(S_{ABMN}=\dfrac{1}{2}AM.BN\) (do \(AM\perp BN\))
Suy ra \(S_{\Delta ABC}=\dfrac{2}{3}AM.BN\).