Cho biết phân thức Q thỏa mãn điều kiện: \(\dfrac{1}{x^2+x+1}-Q=\dfrac{1}{x-x^2}+\dfrac{x^2+2x}{x^3-1}\). Hãy cho biết Q là phân thức nào sau đây?
\(-\dfrac{1}{x}\).\(\dfrac{1}{x\left(x-1\right)}\).\(\dfrac{1}{x^3-1}\).\(\dfrac{2x}{x^3-1}\).Hướng dẫn giải:\(\dfrac{1}{x^2+x+1}-Q=\dfrac{1}{x-x^2}+\dfrac{x^2+2x}{x^3-1}\)
\(\Rightarrow Q=\dfrac{1}{x^2+x+1}-\left(\dfrac{1}{x-x^2}+\dfrac{x^2+2x}{x^3-1}\right)\)
\(\Rightarrow Q=\dfrac{1}{x^2+x+1}-\dfrac{1}{x-x^2}-\dfrac{x^2+2x}{x^3-1}\)
\(=\dfrac{1}{x^2+x+1}+\dfrac{1}{x^2-x}-\dfrac{x^2+2x}{x^3-1}\)
\(=\dfrac{x^2-x+x^2+x+1-x^3-2x^2}{x\left(x^3-1\right)}=\dfrac{1-x^3}{x\left(x^3-1\right)}=-\dfrac{1}{x}\).