Câu 47 minh họa 2017 (lần 3)
Cho mặt phẳng \(\left(P\right):x-2y+2z-3=0\)
và mặt cầu \(\left(S\right):x^2+y^2+z^2+2x-4y-2z+5=0\).
Giả sử điểm \(M\in\left(P\right)\) và \(N\in\left(S\right)\) sao cho vecto \(\overrightarrow{MN}\) cùng phương với vecto \(\overrightarrow{u}\left(1;0;1\right)\) và khoảng cách giữa \(M\) và \(N\) lớn nhất. Tính \(MN\).
\(3\) \(1+2\sqrt{2}\) \(3\sqrt{2}\). \(14\) Hướng dẫn giải:
Từ phương trình của \(\left(P\right)\) suy ra \(\left(P\right)\)có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}\left(1;-2;2\right)\).
Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(N\) xuống mặt phẳng \(\left(P\right)\) thì góc \(\widehat{NMH}\) là góc giữa đường thẳng \(NM\) với \(\left(P\right)\).
Theo giả thiết, \(\overrightarrow{MN}\) cùng phương với vecto \(\overrightarrow{u}\left(1;0;1\right)\) nên đường thẳng \(NM\) có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow{u}\left(1;0;1\right)\).
Từ đó góc giữa đường thẳng \(NM\) với mặt phẳng \(\left(P\right)\) được xác định theo cồng thức
\(\sin\widehat{NMH}=\dfrac{\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}}{\left|\overrightarrow{n}\right|\left|\overrightarrow{u}\right|}=\dfrac{\left|1.1+\left(-2\right).0+2.1\right|}{\sqrt{1^2+\left(-2\right)^2+2^2}.\sqrt{1^2+0^2+0^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\).
Trong tam giác vuông \(NHM\) ta có \(NM=HN:\sin\widehat{NHM}=HN:\dfrac{1}{\sqrt{2}}=HN\sqrt{2}\). Vì vậy \(NM\) sẽ lớn nhất khi và chỉ khi \(HN\) lớn nhất. Bài toán trở thành: Tìm điểm \(N\) trên mặt cầu \(\left(S\right)\) sao cho \(N\) cách xa mặt phẳng \(\left(P\right)\) nhất. Ta thấy điều này xảy ra khi và chỉ khi \(N\) là một trong hai đầu mút của đường kính (của \(\left(S\right)\)) vuông góc với \(\left(P\right)\) (xem hình vẽ). Mặt cầu \(\left(S\right)\) có phương trình \(\left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-1\right)^2=1\) (1) với tâm \(I\left(-1;2;1\right)\), bán kính \(R=1\). Khoảng cách NH lớn nhất bằng IH + IN = khoảng cách từ I tới (P) + bán kính mặt cầu.
Ta có \(IH=\dfrac{\left|-1-2.2+2.1-3\right|}{\sqrt{1^2+\left(-2\right)^2+2^2}}=2\) , \(NH\)max\(=2+1=3\).Do đó \(NM_{max}=3\sqrt{2}\).