Câu 42 đề minh họa 2017 (lần 3)
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left(P\right):6x-2y+z-35=0\) và điểm \(A\left(-1;3;6\right).\)
Gọi \(A'\) là điểm đối xứng với \(A\) qua (P). Tính \(OA'\)'.
\(3\sqrt{26}\). \(5\sqrt{3}\). \(\sqrt{46}\). \(\sqrt{186}\). Hướng dẫn giải:Mặt phẳng \(\left(P\right)\) đã cho có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\left(6;-2;1\right)\). Đường thẳng qua \(A\left(-1;3;6\right)\) vuông góc với \(\left(P\right)\) có phương
trình \(\left\{{}\begin{matrix}x=-1+6t\\y=3-2t\\z=6+t\end{matrix}\right.\). Hình chiếu vuông góc \(H\) của \(A\) trên mặt phẳng \(P\) có tọa độ thỏa mãn hệ
\(\left\{{}\begin{matrix}x=-1+6t\\y=3-2t\\z=6+t\\6x-2y+z-35=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow6\left(-1+6t\right)-2\left(3-2t\right)+\left(6+t\right)-35=0\Rightarrow41t-41=0\Rightarrow t=1\Rightarrow H\left(5;1;7\right)\).
\(A'\) đối xứng với \(A\) qua \(\left(P\right)\) khi \(H\) là trung điểm đoạn \(AA'\), vì vậy tọa độ \(A'\) thỏa mãn
\(\left\{{}\begin{matrix}x+\left(-1\right)=2.5\\y+3=2.1\\z+6=2.7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=11\\y=-1\\z=8\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow A'\left(11;-1;8\right)\Rightarrow OA'=\sqrt{11^2+\left(-1\right)^2+8^2}=\sqrt{186}\).