Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+5}{-1}=\dfrac{z-3}{4}\). Phương trình nào dưới đây là phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng \(x+3=0\)?
\(\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-5-t\\z=-3+4t\end{matrix}\right.\). \(\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-5+t\\z=3+4t\end{matrix}\right.\). \(\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-5+2t\\z=3-t\end{matrix}\right.\). \(\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-6-t\\z=7+4t\end{matrix}\right.\). Hướng dẫn giải:
Cách 1: Kí hiệu (P) là mặt phẳng \(x+3=0\), d' là hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng (P). Cách dựng d' như sau: xác định giao điểm A của d với (P); Lấy một điểm B (khác A) thuộc đường thẳng d rồi dựng hình chiếu vuông góc H của B xuống (P). Đường thẳng AH chính là hình chiếu vuông góc d' cần dựng.
Từ phương trình chính tắc của đường thẳng d suy ra d qua B(1;-5;3) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{u}\left(2;-1;4\right)\).
d và mặt phẳng \(x+3=0\) cắt nhau tại điểm A có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình
\(\left\{{}\begin{matrix}x+3=0\\\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+5}{-1}=\dfrac{z-3}{4}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\\dfrac{y+5}{-1}=\dfrac{z-3}{4}=-2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-3;z=-5\end{matrix}\right.\)
Vậy đường thẳng d cắt mặt phẳng \(x+3=0\) tại A(-3;-3;-5).
Đường thẳng BH qua B(1;-5;3) và nhận vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\left(1;0;0\right)\)của (P) làm vecto chỉ phương, vì vậy BH có phương trình
\(\left\{{}\begin{matrix}x=1+t\\y=-5\\z=3\end{matrix}\right.\)
H là giao điểm của (P) với đường thẳng BH nên H có tọa độ thỏa mãn \(x=-3\) và \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+t\\y=-5\\z=3\end{matrix}\right.\) suy ra \(H\left(-3;-5;3\right)\).
d' qua A và H nên d' có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{AH}\left(0;-2;8\right)=2.\left(0;-1;4\right)\) và có phương trình
\(\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-5-t\\z=3+4t\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-6-\left(t-1\right)\\z=7+4\left(t-1\right)\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-6-t'\\z=7+4t'\end{matrix}\right.\)
Đáp số: \(\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-6-t\\z=7+4t\end{matrix}\right.\)
Cách 2: Kí hiệu (P) là mặt phẳng \(x+3=0\), mặt phẳng này có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}\left(1;0;0\right)\). Từ phương trình đường thẳng d suy ra d qua \(B\left(1;-5;3\right)\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{v}\left(2;-1;4\right)\). Mặt phẳng (Q) qua điểm B và nhận \(\overrightarrow{n},\overrightarrow{v}\) làm cặp vecto chỉ phương có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow{n'}=\left[\overrightarrow{v},\overrightarrow{n}\right]=\left(0;4;1\right)\) và có phương trình là \(\left(Q\right):0\left(x-1\right)+4\left(y+5\right)+1\left(z-3\right)=0\). Hình chiếu vuông góc d' của d trên mặt phẳng (P) chính là giao tuyến của (P) và (Q), vì vậy phương trình d' được xác định bởi
\(d':\left\{{}\begin{matrix}x+3=0\\4\left(y+5\right)+\left(z-3\right)=0\end{matrix}\right.\) (*)
Kiểm tra các kết quả cho bởi các phương án đã nêu:
+ Với \(\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-5-t\\z=-3+4t\end{matrix}\right.\) thế vào (*) ta được \(d':\left\{{}\begin{matrix}x+3=0\\4\left(-t\right)+\left(4t\right)=0\end{matrix}\right.\) không thể đúng với mọi t. Vì vậy đây không theerb là phương án trả lời đúng.
+ Với \(\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-5+t\\z=3+4t\end{matrix}\right.\) , tương tự, thế các biểu thức y và z tính theo t vào (*) ta được \(4t+4t=0\) không đúng với mọi t, vì vậy đây cũng không phải là phương án trả lời đúng.
+ Tương tự ta thấy phương án trả lời đúng là \(\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-6-t\\z=7+4t\end{matrix}\right.\).