Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường \(y=f\left(x\right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=-1,x=2\) (phần tô đậm). Đặt \(a=\int_{-1}^0f\left(x\right)\text{d}x,b=\int_0^2f\left(x\right)\text{d}x\) Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau đây đúng? |
Ta đã biết: hình phẳng (H) có diện tích \(S=\int_{-1}^2\left|f\left(x\right)\right|\text{d}x\).
Áp dụng tính chất tích phân ta có \(\int_{-1}^2\left|f\left(x\right)\right|\text{d}x=\int_{-1}^0\left|f\left(x\right)\right|\text{d}x+\int_0^2\left|f\left(x\right)\right|\text{d}x\).
Từ đồ thị đã cho ta thấy \(f\left(x\right)< 0,\forall x\in\left(-1;0\right)\) và \(f\left(x\right)>0,\forall x\in\left(0;2\right)\) nên
\(\left|f\left(x\right)\right|=\left\{{}\begin{matrix}-f\left(x\right),x\in\left(-1;0\right)\\f\left(x\right),x\in\left(0;2\right)\end{matrix}\right.\)
do đó \(\int_{-1}^2\left|f\left(x\right)\right|\text{d}x=\int_{-1}^0\left|f\left(x\right)\right|\text{d}x+\int_0^2\left|f\left(x\right)\right|\text{d}x=-\int_{-1}^0f\left(x\right)\text{d}x+\int_0^1f\left(x\right)\text{d}x=-a+b\).