Trong khoảng \((0,\pi)\) , phương trình \(\sin x (\cos 2x - 2\cos x)=\cos2x . \cos x -1\) có bao nhiêu nghiệm ?
0 1 2 3 Hướng dẫn giải:
Ta có: \(\sin x (\cos 2x - 2\cos x)=\cos2x . \cos x -1\)\(\Leftrightarrow\cos2x\left(\sin x-\cos x\right)+1-2\sin x\cos x=0\)\(\Leftrightarrow\left(\cos^2x-\sin^2x\right)\left(\sin x-\cos x\right)+\left(\sin x-\cos x\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sin x-\cos x\right)^2\left[1-\left(\cos x+\sin x\right)=0\right]\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sin x-\cos x=0\\\sin x+\cos x=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=0\\\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sin\left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)=0\\\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\cos\left(\dfrac{\pi}{4}+x\right)=0\\\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{matrix}\right.\)
Đặt \(t=x+\dfrac{\pi}{4}\) thì điều kiện \(x\in\left(0;\pi\right)\) trở thành \(t\in\left(\dfrac{\pi}{4};\dfrac{5\pi}{4}\right)\), còn phương trình đã cho thì trở thành \(\left[{}\begin{matrix}\cos t=0\\\sin t=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{matrix}\right.\). Bài toán quy về việc tính số nghiệm của hai phương trình trên trong khoảng \(\left(\dfrac{\pi}{4};\dfrac{5\pi}{4}\right)\).
Trong khoảng \(\left(\dfrac{\pi}{4};\dfrac{5\pi}{4}\right)\) phương trình \(\cos t=0\) chỉ có một nghiệm \(t=\dfrac{\pi}{2}\), còn phương trình \(\sin t=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) thì không có nghiệm nào, Vậy đáp số đúng là 1.