Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\), xác định trên D, \(x_0\in D\). Kí hiệu \(f'\left(x_0\right)\) là đạo hàm của hàm số \(y=f\left(x\right)\) tại \(x_0\), khẳng định nào sau đây sai ?
\(f'\left(x_0\right)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\dfrac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}\).\(f'\left(x_0\right)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\dfrac{f\left(\Delta x+x_0\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}\).\(f'\left(x_0\right)=\lim\limits_{t\rightarrow0}\dfrac{f\left(t+x_0\right)-f\left(x_0\right)}{t}\).\(f'\left(x_0\right)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\dfrac{f\left(x+x_0\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}\).Hướng dẫn giải:Theo định nghĩa đạo hàm (trang 48, SGK Đại số Giải tích 11) thì \(f'\left(x_0\right)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\dfrac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}\) (1).
Nếu đặt \(x-x_0=\Delta_x\Rightarrow x=\Delta_x+x_0\) và khi \(x\rightarrow x_0\) thì \(\Delta_x\rightarrow0\) nên \(f'\left(x_0\right)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\lim\limits_{\Delta_x\rightarrow0}\frac{f\left(\Delta_x+x_0\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta_x}\)\(\Rightarrow f'\left(x_0\right)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f\left(\Delta x+x_0\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}\) (2).
Tương tự \(\Rightarrow f'\left(x_0\right)=\lim\limits_{t\rightarrow0}\frac{f\left(t+x_0\right)-f\left(x_0\right)}{t}\) (3).
Từ (1). (2), (3) suy ra khẳng định sai là \(f'\left(x_0\right)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\dfrac{f\left(x+x_0\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}\).