Tìm các giá trị của tham số m để hệ bất phương trình sau có nghiệm
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+10x+9\le0\\x^3-2x+1-m\le0\end{matrix}\right.\)
\(m\ge2\)\(m\ge0\)\(m< 0\)\(m\ge4\)Hướng dẫn giải:Bất phương trình thứ nhất của hệ có tập nghiệm là \([-9;-1]\).
Viết lại bất phương trình thứ hai dưới dạng \(m\ge x^3-2x+1\) (*) . Hệ đã cho sẽ vô nghiệm khi và chỉ khi (*) sai với mọi \(x\in[-9;-1]\) hay \(m< x^3-2x+1\) , \(\forall x\in\) [- 9; -1 ]. Xét hàm số \(f\left(x\right)=x^3-2x+1\) với \(x\in[-9;-1]\)\(m< x^3-2x+1\).
Ta có \(f'\left(x\right)=3x^2-2\ge3.1-2>0,\)\(\forall\) \(x\in[-9;-1]\) (vì \(\left|x\right|\ge1\)\(\forall x\in[-9;-1]\)