Trong mặt phẳng Oxy cho điểm I(1;1) và đường tròn tâm I bán kính 2. Viết phương trình đường tròn là ảnh của đường tròn trên qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O, góc 45o và phép vị tự tâm O, tỉ số \(\sqrt{2}.\)
\(x^2+\left(y-2\right)^2=8\) \(x^2+\left(y-2\right)^2=6\) \(x^2+\left(y-2\right)^2=4\) \(x^2+\left(y-2\right)^2=2\) Hướng dẫn giải:
Vì I(1;1) nên \(OI=\sqrt{2}\) và góc \(\widehat{IOy}=45^0\) nên phép quay tâm O góc \(45^0\) biến I(1;1) thành \(I'\left(0;\sqrt{2}\right)\), biến đường tròn tâm I bán kính 2 thành đường tròn tâm I' bán kính 2.
Phép vị tự tâm O tỉ số \(\sqrt{2}\) biến I' thành I"(x";y") sao cho \(\overrightarrow{OI"}=\sqrt{2}.\overrightarrow{OI'}\Leftrightarrow\left(x";y"\right)=\sqrt{2}.\left(0;\sqrt{2}\right)\). Do đó \(I"\left(0;2\right)\).
Phép vị tự tâm O tỉ số \(\sqrt{2}\) biến đường tròn tâm I" bán kính 2 thành đường tròn tâm I" bán kính \(2\sqrt{2}\), nó có phương trình là
\(x^2+\left(y-2\right)^2=8\)