Phương trình \(x^2|x-3|=m+\dfrac{1}{m}\) có 4 nghiệm phân biệt khi
\(2-\sqrt{3}< m< 2+\sqrt{3}\). \(m<2-\sqrt{3}\). \(m>2+\sqrt{3}\). \(m<2-\sqrt{3} ; m>2+\sqrt{3}\). Hướng dẫn giải:Phương trình đã cho tương đương với:
$|x^3-3x^2|=m+\dfrac{1}{m}$
Hay là:
$g(x)=m+\dfrac{1}{m}$
Với $g(x)=|x^3-3x^2|$.
Để vẽ đồ thị hàm $g(x)$, ta khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y=f(x)=x^3-3x^2$.
Ta có: $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$
$f'(x)$ có hai nghiệm là 0 và 2, bảng biến thiên của f(x) như sau:
Đồ thị hàm f(x) là đường nét đứt trong đồ thị sau:
Khi đó đồ thị hàm $y = g(x) = |x^3-3x^2| là đồ thị suy ra từ f(x) bằng cách giữ nguyên phần đồ thị f(x) nằm trên trục hoành và lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị của f(x) nằm dưới trục hoành. Đồ thị hàm g(x) là đường nét liền trong đồ thị ở trên.
Nhìn vào đồ thị ta thấy, để phương trình $g(x)=m+\dfrac{1}{m}$ có 4 nghiệm phân biệt thì:
\(0< m+\frac{1}{m}< 4\)
\(\Leftrightarrow0< \frac{m^2+1}{m}< 4\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}m>0\\m^2+1< 4m\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}m>0\\m^2-4m+1< 0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}m>0\\2-\sqrt{3}< m< 2+\sqrt{3}\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow2-\sqrt{3}< m< 2+\sqrt{3}\)