Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, với \(\alpha,a,b\) là những số cho trước. Xét phép biến hình F biến mỗi điểm M(x;y) thành điểm M' (x';y'), trong đó:
\(\left\{{}\begin{matrix}x'=xcos\alpha-ysin\alpha+a\\y'=xsin\alpha+ycos\alpha+b\end{matrix}\right.\)
Cho hai điểm \(M\left(x_1;y_1\right),N\left(x_2;y_2\right)\) và gọi M'; N' lần lượt là ảnh của M và N qua phép F. Tìm khoảng cách M'N':
\(d=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}\) \(d=\sqrt{\left(x_2+x_1\right)^2+\left(y_2+y_1\right)^2}\) \(d=\sqrt{\left(x_2+x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}\) \(d=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2+y_1\right)^2}\) Hướng dẫn giải:Ta có \(d^2=M'N'^2=\left[\left(x_2cos\alpha-y_2sin\alpha+a\right)-\left(x_1cos\alpha-y_1sin\alpha+a\right)\right]^2\)
\(+\left[\left(x_2.sin\alpha+y_2cos\alpha+b\right)-\left(x_1.sin\alpha+y_1cos\alpha+b\right)\right]^2\)
\(=\left[\left(x_2-x_1\right)cos\alpha-\left(y_2-y_1\right)sin\alpha\right]^2+\left[\left(x_2-x_1\right)sin\alpha-\left(y_2-y_1\right)cos\alpha\right]^2\)
\(=\left(x_2-x_1\right)^2cos^2\alpha+\left(y_2-y_1\right)^2.sin^2\alpha+\left(x_2-x_1\right)^2sin^2\alpha+\left(y_2-y_1\right)^2.cos^2\alpha\)
\(=\left(x_2-x_1\right)^2\left(cos^2\alpha+sin^2\alpha\right)+\left(y_2-y_1\right)^2\left(cos^2\alpha+sin^2\alpha\right)\)
\(=\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2\)
\(\Rightarrow d=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}\)