Cho $y=\dfrac{2x-1}{x-1}\quad (C)$. Tìm các điểm $M\in(C)$ sao cho tiếp tuyến tại $M$ và hai trục tọa độ tạo thành tam giác cân?
$M(2;3)$ hoặc $M(0;1)$. $M\left(-2;\dfrac{5}{3}\right)$ hoặc $M\left(3;\dfrac{5}{2}\right)$. $M\left(-2;\dfrac{5}{3}\right)$ hoặc $M(0;1)$. $M(2;3)$ hoặc $M\left(3;\dfrac{5}{2}\right)$. Hướng dẫn giải:Tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ tạo thành một tam giác cân thì hệ số góc của tiếp tuyến phải bằng $1$ hoặc $-1$ (xem hình vẽ).
Tiếp tuyến tại điểm $M(x;y) \in (C)$ có hệ số góc là $f'(x)=\dfrac{-1}{(x-1)^2}$.
Suy ra các điểm $M(x;y)$ cần tìm phải thỏa mãn:
$\dfrac{-1}{(x-1)^2}=1$ hoặc $\dfrac{-1}{(x-1)^2}=-1$
$\Leftrightarrow (x-1)^2=-11$ (không thỏa mãn) hoặc $(x-1)^2=1$
$\Leftrightarrow $(x-1)^2=1$
$\Leftrightarrow $x=0$ hoặc $x=2$
Với $x=0$ thì $y=\dfrac{2.0-1}{0-1}=1$, ta được điểm $M(0;1)$.
Với $x=2$ thì $y=\dfrac{2.2-1}{2-1}=3$, ta được điểm $M(2;3)$.