Cho $y=x^3+(m-1)x^2-3mx+2\quad (C_m)$. Tìm $m$ để tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x=1$ vuông góc với đường thẳng $d:x-2y+10=0$?
$m=3$. $m=-2$. $m=1$. $m=0$. Hướng dẫn giải:Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc là tích hai hệ số góc của chúng bằng $-1$.
Đường thẳng $d: x-2y+10=0$ (viết lại thành $y=\dfrac{1}{2}x+5$) có hệ số góc là $\dfrac{1}{2}$.
Tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ $x=1$ có hệ số góc bằng $y'(1)$.
Ta có phương trình của (C):
$y=x^3+(m-1)x^2-3mx+2$
$\Rightarrow y'=3x^2+2(m-1)x-3m$
$\Rightarrow y'(1)=3.1^2+2(m-1).1-3m=-m+1$.
Suy ra để tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $d$ thì
$(-m+1).\dfrac{1}{2}=-1$
$\Rightarrow m=3$