Tọa độ giao điểm $A,B$ (nếu có) của $d$ với $(C)$ là nghiệm của hệ:
\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{x+1}{2x-1}=-x+2m\\y=-x+2m\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+1=\left(-x+2m\right)\left(2x-1\right)\\x\ne\frac{1}{2}\\y=-x+2m\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x^2-4mx+2m+1=0\\x\ne\frac{1}{2}\\y=-x+2m\end{matrix}\right.\) (*)
Giả sử hệ trên có hai nghiệm $(x_1,y_1)$ (tương ứng với A) và $(x_2,y_2)$ (tương ứng với B). Khoảng cách $AB$ là:
\(AB=\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2}\)
Ta có: \(\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\)
\(=\left(\frac{4m}{2}\right)^2-4.\frac{2m+1}{2}=4m^2-4m-2\) (Theo định lý Vi-et)
\(\left(y_1-y_2\right)^2=\left[\left(-x_1+2m\right)-\left(-x_2+2m\right)\right]^2\)
\(=\left(x_2-x_1\right)^2=4m^2-4m-2\)
Suy ra \(AB=\sqrt{\left(4m^2-4m-2\right)+\left(4m^2-4m-2\right)}=\sqrt{2\left(4m^2-4m-2\right)}\)
Theo yêu cầu đề bài \(AB=\sqrt{2}\) nên ta phải có:
\(\sqrt{2\left(4m^2-4m-2\right)}=\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow4m^2-4m-2=1\)
\(\Rightarrow4m^2-4m-3=0\)
\(\Rightarrow m=\frac{3}{2}\) hoặc \(m=-\frac{1}{2}\)
Thử lại:
- Với \(m=\frac{3}{2}\) hệ (*) có hai nghiệm $A(1;2)$ và $B(2;1)$ thỏa mãn $AB=\(\sqrt{2}\)$.
- Với \(m=-\frac{1}{2}\) thì hệ (*) có hai nghiệm là $A(0;-1)$ và $B(-1;0)$ thỏa mãn $AB=\(\sqrt{2}\)$.
Kết luận \(m=\frac{3}{2}\) hoặc \(m=-\frac{1}{2}\).