Giao điểm $A,B$ của $d$ và $(C)$ là nghiệm của hệ:
\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{2x+1}{x-1}=-3x+m\\y=-3x+m\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x+1=\left(-3x+m\right)\left(x-1\right)\\x\ne1\\y=-3x+m\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x^2-\left(m+1\right)x+m+1=0\\x\ne1\\y=-3x+m\end{matrix}\right.\) (*)
Giả sử hệ trên có hai nghiệm $(x_1,y_1)$ (tương ứng với A) và $(x_2,y_2)$ (tương ứng với B). Trọng tâm G của tam giác $OAB$, với $O(0;0)$ là gốc tọa độ, là:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_G=\frac{1}{3}\left(x_1+x_2+0\right)=\frac{x_1+x_2}{3}\\y_G=\frac{1}{3}\left(y_1+y_2+0\right)=\frac{y_1+y_2}{3}\end{matrix}\right.\)
Theo định lý Vi-et, ta có:
\(x_1+x_2=\frac{m+1}{3}\)
\(y_1+y_2=-3x_1+m-3x_2+m=-3\left(x_1+x_2\right)+2m\)
\(=-3.\frac{m+1}{3}+2m=m-1\)
Suy ra tọa độ G là:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_G=\frac{m+1}{9}\\y_G=\frac{m-1}{3}\end{matrix}\right.\)
Để G nằm trên đường thẳng $\Delta:x-y-2=0 $ thì
\(\frac{m+1}{9}-\frac{m-1}{3}-2=0\) \(\Rightarrow m=-7\).
Thử lại: Với $m=-7$ thì hệ (*) có hai nghiệm.