Cho hàm số \(y=x^3-3mx+1\). Tìm \(m\) để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị \(B,C\) sao cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) với \(A\left(2;3\right)\)?
\(m=\dfrac{1}{2}\). \(m=0\). \(m=0;m=\dfrac{1}{2}\). \(m=\dfrac{1}{5}\). Hướng dẫn giải:Đồ thị hàm số đã cho sẽ có 2 điểm cực trị khi và chỉ khi \(y'=3x^2-3m=3\left(x^2-m\right)\) có 2 nghiệm phân biệt, tức là \(m>0.\)
Hai điểm cực trị của đồ thị là \(B\left(-\sqrt{m};y\left(-\sqrt{m}\right)=2m\sqrt{m}+1\right)\) và \(C\left(\sqrt{m};y\left(\sqrt{m}\right)=-2m\sqrt{m}+1\right)\)
Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\left(2;3\right)\) khi và chỉ khi \(AB=AC\) , hay là: \(AB^2=AC^2\):
\(\left(2+\sqrt{m}\right)^2+\left(3-2m\sqrt{m}-1\right)^2=\left(2-\sqrt{m}\right)^2+\left(3+2m\sqrt{m}-1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2m\sqrt{m}-\sqrt{m}=0\) \(\Leftrightarrow\sqrt{m}\left(2m-1\right)=0\)
Đối chiếu với điều kiện \(m>0\) ta có \(m=\dfrac{1}{2}.\)