Cho mặt phẳng (P) có phương trình \(x+2y-z-2=0\). Tìm tọa độ điểm đối xứng với gốc tọa độ O qua mặt phẳng (P).
\(\left(1;2;-1\right)\) \(\left(-1;-2;1\right)\) \(\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{-2}{3}\right)\) \(\left(\dfrac{-2}{3};\dfrac{-4}{3};\dfrac{2}{3}\right)\) Hướng dẫn giải:Gọi điểm đối xứng là A(a;b;c) thì ta có:
- Trung điểm của OA là \(I\left(\dfrac{a}{2};\dfrac{b}{2};\dfrac{c}{2}\right)\) nằm trên (P)
- \(\overrightarrow{OA}\) có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow{n_P}=\left(1;2;-1\right)\).
Vậy ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{2}+\dfrac{2b}{2}-\dfrac{c}{2}-2=0\\\left(a;b;c\right)=k\left(1;2;-1\right)\end{matrix}\right.\)
Từ phương trình thứ hai rút a, b, c theo k rồi thay vào phương trình thứ nhất ta được:
\(\dfrac{k}{2}+2k+\dfrac{k}{2}-2=0\) \(\Rightarrow k=\dfrac{2}{3}\)
=> \(\left(a;b;c\right)=\dfrac{2}{3}\left(1;2;-1\right)=\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3};-\dfrac{2}{3}\right)\)