Số phức $z$ thỏa mãn \(\left|\dfrac{4+2i}{1-i}.z-1\right|=1\). Giá trị lớn nhất của $|z|$ là
\(\sqrt{2}\). \(\sqrt{3}\). \(0\). \(-1\). Hướng dẫn giải:Do \(\dfrac{4+2i}{1-i}=1+3i;z=x+yi\) thì:
\(\dfrac{4+2i}{1-i}.z-1=\left(1+3i\right)\left(x+yi\right)-1\)
\(=\left(x-3y-1\right)+\left(3x+y\right)i\)
Điều kiện trong bài được viết lại thành:
\(\left(x-3y-1\right)^2+\left(3x+y\right)^2=1\)
\(\Leftrightarrow\left(x-3y\right)^2-2\left(x-3y\right)+1+\left(3x+y\right)^2=1\)
\(\Leftrightarrow10x^2+10y^2-2x+6y=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-\dfrac{1}{5}x\right)+\left(y^2+\dfrac{3}{5}y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-\dfrac{1}{10}\right)^2+\left(y+\dfrac{3}{10}\right)^2=\dfrac{1}{10}\) (*)
Điểm biểu diễn của \(M\left(x;y\right)\) nằm trên đường tròn (*) . Cần tìm điểm \(M\) thuộc đường tròn này để \(OM\) nhỏ nhất . Ta thấy đường tròn này đi qua điểm \(O\) nên \(OM\) nhỏ nhất khi \(M\) trùng với \(O\).
Do đó \(\min z=0.\)
Cách khác : Thấy điểm \(O\left(0;0\right)\) thỏa mãn: \(\left|\dfrac{4+2i}{1-i}.z-1\right|=1\) nên \(\min z=0.\)