Trong các hàm số \(f\left(t\right)\) sau, hàm số nào thỏa mãn \(\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0\left(1-\tan x\right)^4\frac{1}{\cos^2x}\text{d}x=\int\limits^1_0f\left(t\right)\text{dt}\)?
\(f\left(t\right)=t^4\). \(f\left(t\right)=t^2\). \(f\left(t\right)=\left(1-t\right)^2\). \(f\left(t\right)=\left(t-1\right)^3\). Hướng dẫn giải:Đặt \(t=1-\tan x\) thì \(\text{dt}=-\frac{1}{\cos^2x}\text{d}x\) và \(x|^{\frac{\pi}{4}}_0\Rightarrow t|^0_1\), ta có:
\(\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0\left(1-\tan x\right)^4\frac{1}{\cos^2x}dx=-\int\limits^0_1t^4\text{d}t=\int\limits^1_0t^4\text{dt}\)
Đối chiếu với hàm \(f\left(t\right)\) trong đầu bài thì \(f\left(t\right)=t^4\).