Cho hai đường tròn (C1), (C2) có phương trình như sau:
\(\left(C_1\right):\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=1\)
\(\left(C_2\right):\left(x+1\right)^2+y^2=1\)
Tìm các bộ ba hằng số (a; b; c) để đồ thị hàm số \(y=\dfrac{ax+b}{x+c}\) đi qua các tâm của (C1), (C2), mỗi đường tiệm cận của đồ thị tiếp đều tiếp xúc với (C1), (C2)?
\(\left(a;b;c\right)=\left(2;2;1\right)\). \(\left(a;b;c\right)=\left(3;3;2\right)\). \(\left(a;b;c\right)=\left(-2;-2;3\right)\). \(\left(a;b;c\right)=\left(1;1;0\right)\). Hướng dẫn giải:Tâm và bán kính của (C1) là: \(I_1\left(1;2\right),r_1=1\).
Tâm và bán kính của (C2) là: \(I_2\left(-1;0\right),r_2=1\).
Để đồ thị hàm số đi qua \(I_1,I_2\) thì:
\(\left\{\begin{matrix}2=\dfrac{a.1+b}{1+c}\\0=\dfrac{a.\left(-1\right)+b}{-1+c}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}a+b=2\left(1+c\right)\\a=b\end{matrix}\right.\) (*)
Viết lại hàm số như sau để tìm các đường tiệm cận:
\(y=\dfrac{ax+b}{x+c}=\dfrac{a\left(x+c\right)+b-ac}{x+c}=a+\dfrac{b-ac}{x+c}\)
Đồ thị có tiệm cận ngang là \(y=a\) và tiệm cận đứng là \(x=c\).
Dễ nhận thấy trong các đường thẳng thẳng đứng chỉ có \(x=0\) là tiếp tuyến chung của hai đường tròn đã cho (xem hình dưới), suy ra \(c=0\).
Thay \(c=0\) vào (*) ta có:
\(\left\{\begin{matrix}a+b=2\\a=b\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a=b=1\)
Thử lại, với \(a=b=1,c=0\) đồ thị có 2 tiệm cận là \(y=1,x=0\) và cả hai tiệm cận đều tiếp xúc với hai đường tròn.
