Bất phương trình \(\log_5x+\log_2x>1+\log_5x.\log_2x\) có nghiệm là
\(1< x< 3\). \(2< x< 5\). \(3< x< 6\). \(4< x< 5\). Hướng dẫn giải:Bất phương trình tương đương với \(\left(\log_5x-1\right)\left(\log_2x-1\right)< 0\) (1)
Cách 1: (1) \(\Leftrightarrow\dfrac{\log_2x-\log_22}{x-2}.\dfrac{\log_5x-\log_55}{x-5}\left(x-2\right)\left(x-5\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>0\\\left(x-2\right)\left(x-5\right)< 0\end{matrix}\right.\) ( có \(\dfrac{\log_2x-\log_22}{x-2}>0,\dfrac{\log_5x-\log_52}{x-5}>0\) vì \(\log_2x,\log_5x\) đồng biến)
\(\Leftrightarrow2< x< 5\).
Cách 2: \(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(1-\log_2x\right)\left(1-\log_5x\right)< 0\Leftrightarrow1\) nằm giữa \(\log_2x\) và \(\log_5x\), tức là
\(\left[{}\begin{matrix}\log_2x< 1< \log_5x\\\log_5x< 1< \log_2x\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}0< x< 2\\5< x\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}0< x< 5\\2< x\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow2< x< 5.\)