Bất phương trình \(\log_{\frac{x}{2}}8+\log_{\frac{x}{4}}8< \dfrac{\log_2x^4}{\log_2x^2-4}\) có nghiệm là
\(0< x< 1\); \(x>3\). \(0< x< 2\); \(x>4\). \(0< x< 3\); \(x>5\). \(0< x< 4\); \(x>6\). Hướng dẫn giải:Cách 1 (dùng MTCT):
Trong MODE COMP, nhập biểu thức Vế trái - vế phải, nhấn phím CACL để tính giá trị biểu thức này khi \(x=1,5\) thấy kết quả là số âm, suy ra đáp số "\(0< x< 1\) hoặc \(x>3\) " sai.
Tính giá trị biểu thức khi \(x=2,5\in\left(0;3\right)\subset\left(0;4\right)\) thấy kết quả là số dương, chứng tỏ các đáp số chứa \(0< x< 3\) hoặc chứa \(0< x< 4\) là những dáp số sai.
Đáp số đúng xhỉ có thể là "\(0< x< 2\) hoặc \(x>4\)"
Cách 2 (biến đổi tương đương):
Đặt \(t=\log_2x\) thì \(\log_{\frac{x}{2}}8=\dfrac{\log_28}{\log_2\dfrac{x}{2}}=\dfrac{3}{t-1},\log_{\frac{x}{4}}8=\dfrac{3}{t-2},\log_2x^4=4t,\log_2x^2=2t\).
Bất phương trình tương đương với \(\dfrac{3}{t-1}+\dfrac{3}{t-2}< \dfrac{2t}{t-2}\Leftrightarrow\dfrac{3}{t-1}+\dfrac{3-2t}{t-2}< 0\Leftrightarrow\dfrac{-2t^2+8t-9}{\left(t-1\right)\left(t-2\right)}< 0\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(t-2\right)>0\)
\(\Leftrightarrow t< 1;t>2\Leftrightarrow\log_2x< 1;\log_2x>2\Leftrightarrow0< x< 2;x>4\).