Cho a, b là hai số thực thỏa mãn điều kiện \(ax+by-\sqrt{xy}\ge0\) đúng \(\forall x,y>0\) . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
\(ab>\dfrac{1}{5}\)\(ab>0\)\(\left\{{}\begin{matrix}a>0,b>0\\ab\ge\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)\(ab\ge\dfrac{1}{4}\)Hướng dẫn giải:Với \(a=b=-\dfrac{1}{2}\) thì \(ab=\dfrac{1}{4}\) ( như vậy \(ab\ge\dfrac{1}{4}>\dfrac{1}{5}>0\) ) tuy nhiên
\(ax+by-\sqrt{xy}=-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}y-\sqrt{xy}=-\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2< 0\), \(\forall x,y>0\)
Như vậy tất cả 3 khẳng định khác với khẳng định "\(\left\{{}\begin{matrix}a>0,b>0\\ab\ge\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)" đều sai. Do đó chỉ có khẳng định "\(\left\{{}\begin{matrix}a>0,b>0\\ab\ge\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)" đúng.
Chú ý: Có thể kiểm tra tính đúng của khẳng định trên như sau (học sinh không cần làm trong phòng thi):
Theo giả thiết, có \(ax+by-\sqrt{xy}\ge0\) đúng với mọi \(x,y>0\). Chia hai vế cho \(y>0\) và đặt \(t=\sqrt{\dfrac{x}{y}}\) thì điều kiện đã cho trở thành \(at^2-t+b\ge0,\forall t>0\) (*).
- Nếu \(a=0\) thì (*) \(\Leftrightarrow\) \(t\le b,\forall t>0\), vô lý.
- Nếu \(a\ne0\) thì đồ thị hàm số \(Y=f\left(t\right)=at^2-t+b\) là một parabon với đỉnh \(D\left(-\dfrac{1}{2a};\dfrac{4ab-1}{4a}\right)\), cắt trục tung tại \(M\left(0;b\right)\).
(*) sẽ đúng với mọi \(t>0\) trong hai trường hợp:
1) parabon nằm hoàn toàn phía trên trục hoành (parabol quay bề lõm lên trên và không cắt trục hoành - hình (I); hoặc tiếp xúc với trục hoành và quay bề lõm lên trên (hình (II)):
\(\left\{{}\begin{matrix}a>0\\\Delta\le0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a>0\\ab\ge\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a>0,b>0\\ab\ge\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)
2) parabol quay bề lõm lên trên, cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt ở bên trái trục tung - hình (III)):
\(\) \(\left\{{}\begin{matrix}a>0\\\Delta>0\\x_1+x_2=\dfrac{1}{a}< 0\\x_1x_2=\dfrac{b}{a}>0\end{matrix}\right.\) - không xảy ra
Vậy khẳng định đúng là " \(\left\{{}\begin{matrix}a>0,b>0\\ab\ge\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)".