Tìm các giá trị của tham số m để hệ bất phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+10x+9\le0\\x^2-2x+1-m\le0\end{matrix}\right.\) có nghiệm.
\(m>2\).\(m\ge4\).\(m\in\left(0;4\right)\).\(m\in\left(0;2\right)\).Hướng dẫn giải:Cách 1: Khi m = 4, hệ đã bất phương trình đã cho có nghiệm vì với m = 4 hệ đã cho là:
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+10x+9\le0\\x^2-2x-3\le0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}x\in[-9;-1]\\x\in[-1;3]\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x=-1\) .
Do đó các đáp số \(m>2\) hay \(m\in\left(0;4\right)\) hay \(m\in\left(0;2\right)\) đều sai ( thiếu giá trị \(m=4\) ).
Vậy đáp số đúng là \(m\ge4\) .
Cách 2: Bất phương trình đầu có tập nghiệm là đoạn [-9;-1]. Viết lại bất phương trình thứ hai dưới dạng \(\left(x-1\right)^2\le m\) . Từ đó:
- Nếu m <0 thì bất phương trình (*) vô nghiệm, suy ra hệ cũng vô nghiệm.
- Nếu \(m\ge0\) thì (*)\(\Leftrightarrow\) \(1-\sqrt{m}\le x\le1+\sqrt{m}\) . Hệ sẽ vô nghiệm khi và chỉ khi đoạn [-9;-1] có giao bằng rỗng với tập nghiệm của (*), tức là khi
\(\left[{}\begin{matrix}-1< 1-\sqrt{m}\\1+\sqrt{m}< -9\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\sqrt{m}< 2\Leftrightarrow0\le m< 4\)
Như vậy, hệ bất phương trình đã cho sẽ vô nghiệm khi và chỉ khi \(m< 4\). Hệ sẽ có nghiệm khi và chỉ khi \(m\ge4\)