Cho a và b là hai số thực tùy ý thỏa mãn điều kiện ∣b∤=∣a∣\left|b\right|\ne\left|a\right|. Tìm tập nghiệm của phương trình 1−2ax−a=b2−a2a2+x2−2ax1-\frac{2a}{x-a}=\frac{b^2-a^2}{a^2+x^2-2ax}.
{2b−a;2b+a}\left\{2b-a;2b+a\right\} {2a−b;2a+b}\left\{2a-b;2a+b\right\} {a−2b;a+2b}\left\{a-2b;a+2b\right\} {b−2a;−b−2a}\left\{b-2a;-b-2a\right\} Hướng dẫn giải:Biến đổi tương đương phương trình đã cho:
1−2ax−a=b2−a2a2+x2−2ax1-\frac{2a}{x-a}=\frac{b^2-a^2}{a^2+x^2-2ax} ⇔x−3ax−a=b2−a2(x−a)2\Leftrightarrow\frac{x-3a}{x-a}=\frac{b^2-a^2}{\left(x-a\right)^2}
Với điều kiện x̸=ax\ne a, phương trình đã cho tương đương với
(x−3a)(x−a)=b2−a2\left(x-3a\right)\left(x-a\right)=b^2-a^2 (*)
⇔x2−4ax+4a2−b2=0\Leftrightarrow x^2-4ax+4a^2-b^2=0⇔x2−4ax+(2a−b)(2a+b)=0\Leftrightarrow x^2-4ax+\left(2a-b\right)\left(2a+b\right)=0 (**)
Theo Viet, (**) có hai nghiệm x=2a−b,x=2a+bx=2a-b,x=2a+b , cả hai nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện x̸=ax\ne a (vì nếu không thế thì x=ax=a phải là một nghiệm của (*), tức là 0=b2−a20=b^2-a^2, trái giả thiết ∣b∤=∣a∣\left|b\right|\ne\left|a\right| ). Vậy tập nghiệm của phương trình là {2a−b;2a+b}\left\{2a-b;2a+b\right\} . Đáp số: {2a−b;2a+b}\left\{2a-b;2a+b\right\}.
Cách khác (Casio): Ta chọn a, b để 4 đáp số trong đề bài khác nhau, chẳng hạn với a=1,b=0a=1,b=0 thì các đáp số đã cho là
{2b−a;2b+a}\left\{2b-a;2b+a\right\} | {2a−b;2a+b}\left\{2a-b;2a+b\right\} | {a−2b;a+2b}\left\{a-2b;a+2b\right\} | {b−2a;−b−2a}\left\{b-2a;-b-2a\right\} |
{ -1; 2 } | { 2; 2 } | { 1 ; 1 } | { -2 ; -2 } |
Ứng với a=1,b=0a=1,b=0 thì phương trình cần giải là 1−2x−1=−1(x−1)21-\dfrac{2}{x-1}=-\dfrac{1}{\left(x-1\right)^2}
Dùng chức năng CALC (MODE COMP) kiểm tra trực tiếp thì thấy -1; 1; -2 không là nghiệm của phương trình. Đáp số đúng là
{2a−b;2a+b}\left\{2a-b;2a+b\right\} (ứng với nghiệm { 2; 2 }).