Tìm các giá trị của tham số a để phương trình \(x^2-\left(2a-1\right)x-a^2+2=0\) có hai nghiệm trong đó một nghiệm gấp đôi nghiệm kia.
a = -4 a = 4 a = 2 a = -2 Hướng dẫn giải:Theo định lý Viet (thuận, đảo) thì để \(x_1,x_2\)là hai nghiệm của phương trình đã cho, điều kiện cần và đủ là \(\left\{\begin{matrix}x_1+x_2=-\left(2a-1\right)\\x_1x_2=a^2+2\end{matrix}\right.\). Do đó, yêu cầu bài toán sẽ được thực hiện khi và chỉ khi hệ phương trình hai ẩn (tham số a ) sau đây có nghiệm
\(\left\{\begin{matrix}x_1+x_2=-2a+1\\x_1=2x_2\\x_1x_2=a^2+2\end{matrix}\right.\)
Từ hai phương trình đầu suy ra \(x_1=\frac{2}{3}\left(-2a+1\right);x_2=\frac{1}{3}\left(-2a+1\right)\). Hệ sẽ có nghiệm khi và chỉ khi các giá trị này của \(x_1,x_2\) thỏa mãn phương trình cuối, tức là
\(\frac{2}{9}\left(-2a+1\right)^2=a^2+2\Leftrightarrow a^2+8a+16=0\)\(\Leftrightarrow a=-4\).
Đáp số: \(a=-4\).
Cách khác: Dùng MODE EQN máy casio giải phương trình với các giá trị đã cho của a. Đáp số: a = -4.