Xét hàm số \(f\left(x\right)=-x^3-3x^2+m\) với \(x\in\left[-1;1\right]\). Tìm các giá trị của tham số m để hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 0.
\(m=4\).\(m=3\).\(m=0\).\(m=1\).Hướng dẫn giải:Cách 1: Trong khoảng \(\left(-1;1\right)\) , đạo hàm \(f'\left(x\right)=-3x^2-6x\) chỉ có một nghiệm \(x=0\) . Giá trị của hàm số tại \(x=-1;0;1\) lần lượt là \(m-2;m;m-4\) . So sánh 3 giá trị này suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là \(m-4\). Yêu cầu bài toán được thực hiện khi \(m=4\) .
Cách 2: Khi \(m=0\) ta có hàm số \(y=-x^3-3x^2\) (ứng với các giá trị khác của tham số \(m\)) đồ thị hàm số \(f\left(x\right)=-x^3-3x^2+m\) là tịnh tiến của đồ thị \(y=-x^3-3x^2\) dọc theo trục tung \(m\) đơn vị.
Sử dụng MODE 7 (TABLE) lập bảng 19 giá trị của \(y=-x^3-3x^2\) với Start = -1, End = 1, Step = \(\frac{2}{19}.\) Trong 19 giá trị nhận được, số nhỏ nhất là \(-4\) (đạt khi \(x=1\)). Do đó trong trường hợp tổng quát, hàm số \(f\left(x\right)=-x^3-3x^2+m\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(f\left(1\right)=m-4.\) Yêu cầu bài toán được thực hiện khi \(m=4.\)