Cho hình nón đỉnh \(S\), tâm đáy là \(O\), góc ở đỉnh 120o. Trên đường tròn đáy, lấy một điểm \(A\) cố định và điểm \(M\) di động. Tìm số vị trí của \(M\) để diện tích \(SAM\) đạt giá trị lớn nhất.
\(1\) \(2\) \(3\) Vô số Hướng dẫn giải:
Gọi đường sinh của hình nón là \(l\), khi đó diện tích tam giác \(SAM\) là:
\(dt\left(SAM\right)=\frac{1}{2}SA.SM.\sin\widehat{ASM}=\frac{l^2}{2}.\sin\widehat{ASM}\)
Diện tích này lớn nhất khi \(\sin\widehat{ASM}\) lớn nhất \(\Leftrightarrow\widehat{ASM}=90^0\Leftrightarrow\) \(AM=\sqrt{AS^2+MS^2}=l.\sqrt{2}\).
Bài toán trở thành: có bao nhiêu dây của đường tròn đáy với một đầu mút là \(A\) và có độ dài \(AM=l\sqrt{2}\)? Chú ý rằng theo giả thiết, hình nón đã cho có góc ở đỉnh là \(120^0\) nên bán kính đáy hình nón là \(r=l.\sin\dfrac{120^0}{2}=\dfrac{l\sqrt{3}}{2}\), đường kính đường tròn đáy là \(2r=l\sqrt{3}.\)
Vì \(l\sqrt{2}< l\sqrt{3}=2r\) nên có \(2\) dây đi qua \(A\) và có độ dài \(l\sqrt{2}\).