Tam giác ABC cân tại A, AB = AC = 1, \(\widehat{BAC}=120^0\). Cho miền tam giác đó lần lượt quay quanh AB, BC. Kí hiệu \(V_1,V_2\) là thể tích các khối tạo thành. Tính tỉ số \(\frac{V_1}{V_2}\).
\(\sqrt{3}\) \(2\sqrt{3}\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) Hướng dẫn giải:
Khi quay tam giác quanh trục \(AB\) ta được hình nón lõm (hình nón có đỉnh\(B\), đường tròn đáy bán kính \(HC\) nhưng bị khoét bởi hình nón đỉnh \(A\) có chung đáy.
Thể tích hình nón lõm là:
\(V_1=\frac{1}{3}\pi.CH^2.BH-\frac{1}{3}\pi.CH^2.AH=\frac{1}{3}\pi.CH^2\left(BH-AH\right)\)
\(=\frac{1}{3}\pi.CH^2.AB\)
\(=\dfrac{1}{3}\pi\left(AC.\sin60^0\right)^2.AB=\dfrac{1}{3}\pi\left(1.\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2.1=\dfrac{\pi}{4}\)
Khi quay tam giác \(ABC\) quanh \(BC\) ta được khối tròn xoay gồm hai hình nón úp đáy vào nhau: hình nón đỉnh \(B\) có đáy là đường tròn bán kính \(AK\) và hình nón đỉnh \(C\) cũng có chung đáy bán kính \(AK\) (\(AK\) là đường cao tam giác \(ABC\) hạ từ \(A\).)
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác \(ABC\) quanh \(BC\) là:
\(V_2=\frac{1}{3}\pi.AK^2.BK+\frac{1}{3}\pi.AK^2.CK=\frac{1}{3}\pi.AK^2\left(BK+CK\right)\)
\(=\frac{1}{3}\pi.AK^2.BC\)
\(=\frac{1}{3}\pi\left(AB.\cos60^0\right)^2.\left(2.AB.\sin60^0\right)\)
\(=\frac{1}{3}\pi\left(1.\frac{1}{2}\right)^2\left(2.1.\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{12}\pi\)
Vậy: \(\frac{V_1}{V_2}=\frac{\frac{1}{4}\pi}{\frac{\sqrt{3}}{12}\pi}=\sqrt{3}\)