Hàm số \(y=\dfrac{2x-1}{x+1}\) có đồ thị là \(\left(H\right)\). Tổng các khoảng từ một điểm \(M\) tùy ý thuộc \(\left(H\right)\) đến hai đường tiệm cận của \(\left(H\right)\) đạt giá trị nhỏ nhất là
\(2\sqrt{2}\). \(2\sqrt{3}\). \(4\). \(16\). Hướng dẫn giải:Ta có \(y=\dfrac{2x-1}{x+1}=2-\dfrac{3}{x+1}\) nên hai tiệm cận của đồ thị là \(x=-1\Leftrightarrow x+1=0\) và \(y=2\Leftrightarrow y-2=0.\)
Xét điểm \(M\left(x;y=2-\dfrac{3}{x+1}\right)\in\left(H\right)\). Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng ta tính được các khoảng cách từ \(M\) tới hai đường tiệm cận là \(\dfrac{\left|x+1\right|}{\sqrt{1^2+0^2}}=\left|x+1\right|\) và \(\dfrac{\left|y-2\right|}{\sqrt{0^2+1^2}}=\left|\dfrac{3}{x+1}\right|=\dfrac{3}{\left|x+1\right|}\). Tích các khoảng cách này không đổi (luôn luôn bằng \(3\)) nên tổng các khoảng cách sẽ đạt giá trị nhỏ nhất là \(2\sqrt{3}\) (khi \(\left|x+1\right|=\dfrac{3}{\left|x+1\right|}\)\(\Leftrightarrow x=-1\pm\sqrt{3}.\)