Cho hàm số \(y=f\left(x\right)=-\dfrac{x^2}{2}+2x+1\) có đồ thị (P) và đường thẳng (d) có phương trình \(y=kx\). Tìm tất cả các giá trị của k để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt và các tiếp tuyến tại hai giao điểm này vuông góc nhau.
\(k=\frac{4}{5}\) \(k=\frac{5}{4}\) \(k=\dfrac{5}{8}\) \(k=-\frac{5}{4}\) Hướng dẫn giải:Ta có \(f\left(x\right)=-\dfrac{x^2}{2}+2x+1\Rightarrow f'\left(x\right)=-x+2\).
Phương trình xác định hoành độ các giao điểm của (d) và (P) là \(-\dfrac{x^2}{2}+2x+1=kx\Leftrightarrow x^2-\left(4-2k\right)x-2=0\) (1) .
Với mọi \(k\), phương trình (1) luôn có hai nghiệm trái dấu \(x_1,x_2\) vì vậy chỉ cần tìm các giá trị của k để \(f'\left(x_1\right)f'\left(x_2\right)=-1\), tức là \(\left(-x_1+2\right)\left(-x_2+2\right)=-1\Leftrightarrow x_1x_2-2\left(x_1+x_2\right)+5=0\). Theo Viet, điều này tương đương với \(-2-2\left(4-2k\right)+5=0\Leftrightarrow4k-5=0\Leftrightarrow k=\dfrac{5}{4}\).