Lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = 1, góc giữa A'C và mặt phẳng ABC bằng 60o. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp C'.ABB'A'.
\(\frac{5\pi}{2}\) \(5\pi\) \(\frac{5\pi}{4}\) \(\frac{5\pi}{6}\) Hướng dẫn giải:
Đặt tên các đỉnh như hình vẽ. Gọi M là trung điểm của A'B.
Ta có \(\widehat{\left(A'C;\left(ABC\right)\right)}=\widehat{ACA'}=60^o\)
Do tam giác A'C'B vuông tại A' nên trung điểm của C'B là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Gọi điểm đó là O . Khi đó OB = OA' = OC'.
Lại có OM // A'C' nên \(OM\perp\left(ABB'A'\right)\) . M là tâm hình chữ nhật ABB'A' nên OA = OB = OA' = OB'.
Vậy OC = OA = OB = OA' = OB' hay O là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp C'.ABB'A'
Ta tính được \(CC'=AA'=\sqrt{3};BC=\sqrt{2}\Rightarrow BC'=\sqrt{5}\)
Vậy R = OB = OC' = \(\frac{\sqrt{5}}{2}\)
Diện tích mặt cầu là: \(4\pi R^2=4\pi\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2=5\pi\)