Hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = 3; BC = 5. Hình chiếu của B' trên mặt phẳng (ABC) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, góc giữa mặt phẳng (ABB'A') và mặt phẳng (ABC) bằng 60o. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp B'.ABC.
\(\frac{73\sqrt{3}}{48}\) \(\frac{73\sqrt{3}}{24}\) \(\frac{73\sqrt{6}}{48}\) \(\frac{76\sqrt{3}}{24}\) Hướng dẫn giải:
Tính được AC = 4 cm.
Gọi M, N, K lần lượt là trung điểm AB, BC; B'C. Khi đó ta có \(\widehat{\left(\left(ABB'A'\right);\left(ABC\right)\right)}=\widehat{B'MN}=60^o\) và \(B'N\perp\left(ABC\right)\)
Tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp B'.ABC là tâm đường tròn ngoại tiếp giác giác cân B'BC.
Thật vậy, O thuộc BN nên OA = OB = OC. Lại do O là đường tròn ngoại tiếp nên OB' = OB = OC.
Vậy thì OA = OB = OC = OB'
Ta có MN = \(\frac{AC}{2}=\frac{4}{2}=2\) nên B'N = \(2\sqrt{3}\Rightarrow B'C=\frac{\sqrt{73}}{2}\)
Ta có \(\Delta B'KO\sim\Delta B'NC\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{B'K}{B'N}=\frac{B'O}{B'C}\)
\(\Rightarrow B'O=\frac{B'K.B'C}{B'N}=\frac{\frac{\sqrt{73}}{4}.\frac{\sqrt{73}}{2}}{2\sqrt{3}}=\frac{73\sqrt{3}}{48}\)