Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật mà AD = 3; AC = 5; SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa (SCD) và mặt phẳng (ABCD) bằng 45o. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
\(\frac{1}{3}17\sqrt{34}\pi\) \(\frac{1}{6}17\sqrt{34}\pi\) \(34\sqrt{34}\pi\) \(\frac{1}{9}17\sqrt{34}\pi\) Hướng dẫn giải:
Do ABCD là hình chữ nhật nên \(CD\perp AD\)
Vậy thì \(\widehat{\left(\left(SCD\right);\left(ABCD\right)\right)=\widehat{SDA}=45^o}\)
Xét tam giác vuông SAD có \(\widehat{SDA}=45^o\) nên nó là tam giác vuông cân, hay AS = AD = 3.
Gọi O là trung điểm SC, ta có OS = OA = OC = OB = OD. Vậy O là tâm khối cầu ngoại tiếp hình chóp. Bán kính khối cầu là OC.
Tam giác SAC vuông tại A, có AS = 3; AC = 5 nên SC = \(\sqrt{34}\)
Vậy bán kính khối cầu là \(\frac{\sqrt{34}}{2}\)
Thể tích khối cầu là \(\frac{4}{3}\pi\left(\frac{\sqrt{34}}{2}\right)^2=\frac{1}{3}17\sqrt{34}\pi\)