Xét đường thẳng d có phương trình \(x=y=z\) và đường thẳng d' xác định bởi \(x=y-1=z+1\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ?
\(1\) \(\sqrt{2}\) \(\sqrt{3}\) 2 Hướng dẫn giải:Trên d lấy hai điểm A và B: A(0;0;0), B(1;1;1) => \(\overrightarrow{AB}=\left(1;1;1\right)\)
Trên d' lấy hai điểm M và N: M(0;1;-1), N(1;2;0) => \(\overrightarrow{MN}=\left(1-0;2-1;0+1\right)=\left(1;1;1\right)\)
Vì \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MN}\) nên hai đường thẳng d và d' song song.
Khoảng cách giữa d và d' bằng khoảng cách từ M đến d. Gọi H(x;y;z) là chân đường cao hạ từ M xuống d, ta có:
\(\begin{cases}x=y=z\\\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{AH}=0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=y=z\\\left(1;1;1\right).\left(x;y;z\right)=0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=y=z\\x+y+z=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow x=y=z=0\)
Vậy H(0;0;0) và khoảng cách \(MH=\sqrt{0^2+\left(1\right)^2+\left(-1\right)^2}=\sqrt{2}\)