Cho bất phương trình \(\log_{\frac{2}{3}}\left|x+1\right|+\log_{1,5}\left(x+2\right)>0\quad\left(1\right)\).
Khẳng định nào dưới đây đúng ?
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\begin{cases}x\ne0\\x+2>0\\\left|x+1\right|>x+2\end{cases}\). \(\left(1\right)\Leftrightarrow\begin{cases}x\ne-1\\\left|x+1\right|< x+2\end{cases}\). \(\left(1\right)\Leftrightarrow\begin{cases}x+2\ge0\\\left|x+1\right|>x+2\end{cases}\). \(\left(1\right)\Leftrightarrow\begin{cases}x+2\ge0\\\left|x+1\right|< x+2\end{cases}\). Hướng dẫn giải:\(\log_{\frac{2}{3}}\left|x+1\right|+\log_{1,5}\left(x+2\right)>0\)
\(\Leftrightarrow\log_{\left(\frac{3}{2}\right)^{-1}}\left|x+1\right|+\log_{\frac{3}{2}}\left(x+2\right)>0\)
\(\Leftrightarrow-\log_{\left(\frac{3}{2}\right)}\left|x+1\right|+\log_{\frac{3}{2}}\left(x+2\right)>0\)
\(\Leftrightarrow\log_{\frac{3}{2}}\left(x+2\right)>\log_{\frac{3}{2}}\left|x+1\right|\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}x-2>0\\x+1\ne0\\x+2>\left|x+1\right|\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}x+1\ne0\\x+2>\left|x+1\right|\end{cases}\)
(chú ý điều kiện \(x-2>0\) nghiễm nhiên thỏa mãn nếu \(x\) thỏa mãn hai điều kiện còn lại)
Đáp số: \(\log_{\frac{2}{3}}\left|x+1\right|+\log_{1,5}\left(x+2\right)>0\Leftrightarrow\begin{cases}x\ne-1\\\left|x+1\right|< x+2\end{cases}\).